Mecanica De Fluidos Shames 3 Edicion Solucionariol: Los secretos del libro de Shames revelados en un

es de una buena ayuda tu pagina, pero estoy buscando el solucionario o libro de "mecanica de fluidos de Franzini" se los agradecederia si me lo consiguieran. y gracias por la ayuda!! dieguras_16@hotmail.com

hola que tal oyes de casulidad no tienes el solucioanrio de diseño en ingneria mecanica de shigley pero la sexta edicion...si serias tan amable de facilitarmelo..mi correo es vermax_plus@hotmail.com

Mecanica De Fluidos Shames 3 Edicion Solucionariol

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necesito urgente el solucionari del libro de mecanica de materiles 4ed de cualquier autor beer o hibbler y el de mecanica de fluidos e hidraulica de ronald v aviles gracias porfa consiganmelosssssssss

hola, fijate q ando buscando el solucionario del libro de mecanica de los fluidos e hidraulica de la serie shaun el autor es ranald v. giles, ya lo busque por todos lados si de casualidad lo tenes te suplico que me lo envies mi correo es alejandra_alvarado_11@yahoo.com y desde ya te agradezco

Hola estoy buecando el libro diseño en ingneria mecanica de shigley la sexta edicion con su solucionario o el libro de la septima edicion me podrias indicar donde o como conseguirlos gracias

yo creo que estas chato de constestar tantos post y6 suvir libros y blabla bueno la peticioon es la de siempre necesito el solucionario de "mecanica vectorial para ingenieros Dinamica" 7ªedicion autoresFerdinand P. BeerE. Russell Johnston, JrWilliam E. Clausen los busque por mi cuenta perommmm no lo he pillado atodo esto te felicito e bajado barios solucionarios de este blog y gracias a tus suvidas he pasaado varios ramos espero que me respondas y si no == gracias por lo suvido adios....

hey que, no se si puedas ayudarme con el solucionario de mecanica de materiales de james m. gere sexta edicion, lo ocupo con urgencia, te lo agradeceria mucho, y gracoas por ayudar a los que estudiamos ingenierias...mi correo es dlorbans@hotmail.com

Hola.... excelente blog... necesito ayuda para encontrar el solucionario completo del libro de mecanica de fluidos de mott... en especial el capitulo de compuertas.... Gracias!!! es urgente!!!dicarolb88_19@yahoo.com

Hola...... excelente blog... Necesito ayuda para encontrar el solucionario completo del libro de mecanica de fluidos de Mott. especialmente el capitulo de compuertas... Gracias!!es urgente!!dicarolb88_19@yahoo.com

hola...necesito el solucionario del libro mecanica vectorial para ingenieros . Estatica la octava edicion por favor si alguien la teien x favor enviarmela a mi correo sherley_10@hotmail.com por favor es super urgente tengo parcial este lunes

hola amigo, necesetito el solu de mecanica vectorial para ingenieros beer y jhonston la 7ma edicon si me lo pueden madar a mi correo se los agradeceria ...y tambien el libro de Ingenieria Economica - Leland Blank & Antohony Tarquin. la ultima edicionmi correo es dahiana8184@hotmail.com

hola, excelente pagina, estoy buscando el solucionario de mecanica de los fluidos streeter 8va edicion, 3ra en español, si alguien lo tiene dejo mi correo kubo_222@hotmail.com, por favor en realidad lo necesito

Hola... Muy bueno tu blog. Necesito urgente el solucionario de mecanica de fluidos e hidraulica de Schaum de cualquier edicion. es urgente. por favor cualquier informacion enviala a este correo linoelgrande@hotmail.comMuchas gracias. Espero de tu ayuda

auxilio por favor necesito el solucionario de mecanica de fluidos e hidraulica de ranald v. giles tercera edicion losproblems propuestos en el 3 capitulo sobre todo 3.44, 3.50 y 3.51 no los puesdo realizar ni satanas pudo por favor auxilio. racydth@hotmail.commil gracias aquien pueda ayudarme

2. *MECNICA DE FLUIDOS Tercera edicinIRVING H. SHAMES Facul tyProfessor and Distinguished Teaching Profesor Faculty ofEngineering and Applied Science State University of New York atBuffalolhduccn M. Sc. en ingeniera hidrulica Profesor de laUniversidad de los AndesRevisin tcnica GERMN R. SANTOS. G.Ingeniero civil, E, C. 1. M. Sc., Ph. D. Virginia Tech Prolesorasociado Escuela Colombiana deIngenieralSantafelAucklandMcGRAW-HILL Buenos Aires l Caracas lGuatemala l Lisboa l Madrid l Mxico @ Nueva /ork l Panama l SanJuan l Santiago de Chile l Sao Paulo Hamburgo l Londres l MiUn lMontreal l Nueva Delhi l Pars l San Francisco l San LUIS l Sidney lSingapur l Tokio l Torontode Bogot ll 3. Prohibida In reproduccidntottzl o pnrcitrl rlr esta obra, por cualquier medio, sinautorizocidn escritfi del editor DERECHOS RESERVADOS. Copyright 01995, por McGRAW-HILL Transversal 428 No. 19-77, Santa% deBogo& Colombia Traducido de la tercera edicin de MECHANICS OFFLUIDS Copyright 0 MCMXCII. por McGRAW-HILL, Inc. ISBN:0.07-056387-X Editora: Martha Edna Surez R.31245678909012336785ISBN: 958-600-246-2 Impreso en ColombiaIrintetlin ColombiaQ EmlcuMn Se imprimieron 3.300 ejemplores111 el mes deenero de 1995TNTERAMERICANA, S. A 4. ACERCA DEL AUTORIrving H.Shames posee el ttulo de profesor de facultad de ingeniera yciencia aplicada de la Universidad del estado de Nueva York enBuffalo y se le ha reconocido con el ttulo de profesor distinguidodel sistema de la Universidad. El primero de estos ttulos permiteal profesor Shames ensear en diferentes departamentos de ingeniera;el segundo le proporciona recursos que son importantes en su laborcomo escritor. Su empeo como tal se ha extendido a lo largo de unperiodo de 35 aos, durante el cual ha publicado 10 libros. La mayorparte de stos se han traducido a otros idiomas como espaol,portugus, japons, coreano, chino y rabe. Su primer libro,Engineering Mechanics Statics and Dynamics, publicado en 1958, fueel primer libro de mecnica ampliamente utilizado basado enprincipios vectoriales. Esto marc el comienzo del uso universal delmtodo vectorial. La primera edicin de Mecnica defluidos fue elprimer texto que utiliz la ecuacin del transporte de Reynolds parala deduccin eficiente de las leyes bsicas y que utiliz el volumende control no inercial. De hecho, un examen de la edicin de 1962revelar que la mayor parte de los textos de fluidos de hoy en da seasemejan bastante a este texto innovador. Asimismo otras de susobras presentan enfoques o puntos de vista innovadores. El profesorShames ensea la secuencia de segundo ao -esttica, dinmica y mecnicade slidos- a casi todo el cuerpo de estudiantes de ingeniera enBuffalo en una sola sesin. Adems, ensea en un curso de mecnica defluidos dirigido a todos los estudiantes de tercer ao de ingenieramecnica y aeroespacial. En aos alternos dirige un curso de ltimo aoy de posgrado en mtodos variacionales y elementos finitos y otro deanlisis inelstico de esfuerzos. Estas asignaturas son electivas ytienen un registro muy por encima del promedio de esta universidade involucran un amplio nmero de estudiantes. Para el profesorShames la vigencia de sus libros se explica por el hecho de quecada uno se escribi con base en cursos que tienen asistencia grandey diversa. Por esta razn, el texto debe escribirse para que juegueun papel importante en tales clases y esto representa la prueba mssevera de claridad. Asimismo, durante 18 aos el autor ha sidodirector de programas de ingeniera aeroespacial, en ciencias deingeniera, bioingeniera y en ingeniera nuclear, lo cual requiereinvolucrarse a fondo en el desarrollo del curriculurn de dichosprogramas. Esto da a su actividad de escritor un conocimientoexcepcionalmente amplio que permite la continuidad en sus librosdesde los cursos brsicos, y al mismo tiempo deja caminos abiertos acursos ms avanzados. El profesor Shames estuvo dos aos comoprofesor visitante en el Technion Institute of Technology, enHaifa, Israel, en una ocasin en ingeniera mecnica y en otra eningeniera de materiales. Durante su estancia en SUNY/Buffalo,trabaj con el famoso bilogo Dr. James Danielli en la teora demembrana con v capa molecular doble y con l fue el coinvestigadorprincipal en investigacin de membranas. 5. ACERCA DEL AUTOREn losltimos aos el profesor Shames ha expandido sus actividades deenseanza y ha establecido dos talleres de verano patrocinados porel estado de Nueva York. En 199 1, stos se ampliaron a un programanacional de talleres patrocinados por la National ScienceFoundation (NSF). El programa involucra la integracin conceptual ypedaggica de la mecnica desde el segundo ao hasta la escuela deposgrado.vi 6. CONTENIDOxvPrefacio Primera parte1 1.1 1.2 1.3 1.41.5 1.6 1.7 1.8 *1.9 1.10 2 2.1 2.2 2.3 2.4 *2.5 2.6 2.7 2.8 3 3.13.2 3.3Principios bsicos de mecnica defluidosNociones3fundamentalesNota histrica Fluidos y el continuoDimensiones y unidades Ley de la homogeneidad dimensional Una notasobre fuerza y masa Ley de viscosidad de Newton: el coeficiente deviscosidad Una nota sobre materiales no newtonianos El gasperfecto: ecuacin de estado Compresibilidad de lquidos; tensinsuperficial Colofn3 3 5 * 7 9 10 15 17 19 27Esfuerzo en unpunto37Introduccin Cantidades escalares, vectoriales y tensores:campos Fuerzas superficiales y de cuerpo; esfuerzo Esfuerzo en unpunto para un fluido en reposo y para flujos no viscosos Movimientode fluidos viscosos Propiedades de esfuerzo El gradiente Colofn3737 38Esttica de fluidos53Introduccin Variacin de la presin en unfluido esttico incompresible Variacin de la presin con la elevacinpara un fluido esttico compresible5339 41 43 45 4753 56vii 7.CONTENIDO3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 *3.11 3.12La atmsfera estndarEfecto de la fuerza superficial sobre un fluido confinado quepermanece esttico Fuerza hidrosttica sobre una superficie planasumergida en un fluido esttico incompresible Fuerza hidrostticasobre superficies curvas sumergidas Una nota sobre superficiescurvas complejas Ejemplos de fuerzas hidrostticas sobre superficiescurvas sumergidas Leyes de boyamiento Consideraciones deestabilidad para cuerpos en flotacin Colofn61 61 68 71 73 77 8388Fundamentos del anlisis de flujo4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.84.9 4.10 5107El campo de velocidad Dos puntos de vista Aceleracinde una partcula de flujo Flujo irrotacional Relacin entre flujoirrotacional y viscosidad Leyes bsicas y secundarias para medioscontinuos Sistemas y volmenes de control Una relacin entre elenfoque de sistemas y el enfoque de volmenes de control Flujosunidimensionales Colofn4107 109 110 113 119 120 120Leyes bsicaspara sistemas finitos y volmenes de control finitos, 1: continuidady momentum5.1Introduccibn Parte A. Conservacin de la masa Ecuacinde continuidad Parte B. Momentum lineal Anlisis de sistemasVolmenes de control fijos en un espacio inercia1 Empleo de laecuacin de momentum lineal en un volumen de control Volmenes decontrol no inerciales *Parte C. Momento de momerztum Momento demomentum para un sistema Mtodo del volumen de control para laecuacin de momento de momentum en volmenes de control inercialesEcuacin de momento de momentum aplicada a bombas y turbinas Momentode momentum para volmenes de control no inerciales Colofn5.2 5.35.4 5.5 *5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 viii596Leyes bsicas parasistemas finitos y volmenes de control finitos. II: termodinmica121127 131137 137 137 137 141 141 142 144 159 163 163 165 172 177182203 8. 6.1203 203 204 205 210Introduccin Nota preliminarAnclisis de sistemas Anlisis del volumen de control Problemas queinvolucran la primera ley de la termodinmica Ecuacin de Bernoulli apartir de la primera ley de la termodinmica Una nota sobre lasegunda ley de la termodinmica La segunda ley de la termodinmicaColofn6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 "6.8 6.9 7 7.17.2 7.3 "7.4 7.57.6*7.7 7.87.9 7.10 7.117.12 7.13 7.14 7.15 7.168 8.1 8.2 8.38.48.5 8.6 8.7216 222 222 224Formas diferenciales de las leyesbsicas237Introduccin Parte A. Desarrollo elemental de las formasdiferenciales de las leyes bsicas Conservacin de la masa Ley deNewton; ecuacibn de Euler Lquidos bajo aceleracin lineal uniforme obajo velocidad angular constante Integracin de la ecuacin de Eulerpara flujo permanente; ecuacin de Bernoulli Ecuacin de Bernoulliaplicada aflujo irrotacional Ley de Newton para flujos generalesProblemas que involucran flujos laminares paralelos *Parte B. Formadiferencial de las leyes bsicas: una aproximacin ms general Notacinndice y frmula de Cauchy Teorema de Gauss Conservacin de la masaEcuaciones de momentum Primera ley de la termodinmica Segunda leyde la termodinmica Leyes b;sicas en coordenadas cilndricasColofn237 238238 240 241 249 250 251 254 262 262 264 266 266268 271272 273Anlisis dimensional y similitud281Grupos adimensionalesParte A. Anlisis dimensional Naturaleza del anlisis dimensionalTeorema de n de Buckingharn Grupos adimensionales importantes enmec5nica de fluidos Crlculo de los grupos adimensionales Parte B.Similitud Similitud dinmica Relacin entre anlisis dimensional ysimilitud281 281 281 283 285 285 291 291293ix 9. CONTENIDO8.8 8.98.10 8.11Significado fsico de grupos adimensionales importantes enmecnica de fluidos Uso prctico de los grupos adimensionalesSimilitud cuando se conoce la ecuacin diferencial ColofnSegundaparte 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.59.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.149.15 9.16 *9.17 9.18 9.19 10Anlisis de flujos internosimportantesFlujo viscoso incompresible a travs de tuberas Parte A.Comparacin general entre flujos laminares y flujos turbulentosIntroduccin Flujos laminares y turbulentos Parte B. Flujo laminarPrimera ley de la termodinmica para flujo en tuberas; prdida dealtura Problemas de flujo laminar en tuberas Condiciones de entradaa la tubera Parte C. Flujos turbulentos: consideracionesexperimentales Nota preliminar Prdida de altura en una tuberaPerfil de velocidad y esfuerzo cortante en la pared para flujoturbulento Prdidas menores en sistemas de tuberas Parte D.Problemas de flujo en tuberas Solucin a problemas de tuberas enserie Lneas de altura piezomtrica y de energa total Conductos nocirculares Parte E. Flujos turbulentos con nmeros de Reynoldselevados Esfuerzo aparente Perfiles de velocidad para flujosturbulentos con nmeros de Reynolds elevados Detalles de losperfiles de velocidad para tuberas lisas y rugosas Problemas paraflujos con nmeros de Reynolds elevados Parte F. Flujo en tuberas enparalelo Problemas de tuberas en paralelo Tuberas ramificadasColofn315 315 315 316 318Flujo viscoso incompresible general: lasecuaciones de Navier-Stokes39710.1Introduccin Parte A. Flujolaminar * 10.2 Ley de viscosidad de Stokes Ecuaciones deNavier-Stokes para un flujo laminar incompresible 10.3 10.4 Flujoparalelo: consideraciones generales x297 300 302 30310.510.6Problemas de flujo paralelo laminar Una nota318 323 326 327 327328 333 335 340 340 349 351 353 353 355 362 367 370 370 374 378397398 398 403 406 408 414 10. CONTEN100*10.7 10.8 10.9 10.10 10.1110.12 10.13 ll 11.1 11.2 ll .3 11.4 11.5 ll.6 ll.7 11.8 11.9 11.1011.11 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11.1711.18 11.1911.20 11.21ll.22Ecuaciones de Navier-Stokes simplificadas para una placa deflujo muy delgada Ley de similitud dinAmica a partir de lasecuaciones de Navier-Stokes *Parte B. Flujo turbulento Uncomentario Promedios temporales para flujo turbulento permanenteEcuaciones de Navier-Stokes para las magnitudes medias temporales:esfuerzo aparente Manifestacin del esfuerzo aparente: viscosidad deremolino Colofn Flujocompresible415 418 422 422 422 423 427 427431unidimensional431 432 432 434 438 440 440 440Introduccin ParteA. Preliminares bsicos Relaciones termodinmicas para un gasperfecto Propagacin de una onda elstica El cono de Mach Una notasobre flujo compresible unidimensional Parte B. Flujo isentrpicocon cambio simple de rea Leyes bsicas y secundarias para flujoisentrpico Propiedades locales en el punto de estancamientoisentrpico Una diferencia importante entre flujo subsnico y flujosupersnico unidimensional Flujo isentrpico de un gas perfecto Flujoen una boquilla real en condiciones de diseno Parte C. La onda dechoque normal Introduccin Lneas de Fanno y de Rayleigh Relacionespara una onda de choque normal Relaciones de onda de choque normalpara un gas perfecto Una nota sobre ondas de choque oblicuas ParteD. Operacin de boquillas Una nota sobre chorros libres Operacin deboquillas *Parte E. Flujo a travs de un dueto de seccin constantecon friccin Introduccin Ecuaciones de flujo adiabtico en seccinconstante para un gas perfecto *Parte F. Flujo permanente a travsde un dueto de seccin constante con transferencia de calorIntroduccin Relaciones para un gas perfecto ColofnTercera parte446448 451 454 454 455 458 459 464 468 468 469 473 473 474 482 482 483488Anlisis de flujos externos importantes12 Flujo potencial 12.1Introduccin501 501xj. 11. CONTENIDO12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.712.8 12.9 12.1012.11 12.12 12.13 12.14 12.15 12.16 12.17 12.1812.19 12.20 12.21 12.22 12.23 12.24 12.25 12.26 12.27 12.28 12.2912.30 12.31 12.32 12.33 12.34 12.35 13Parte A. Consideracionesmatemticas Circulacin: conectividad de regiones Teorema de StokesCirculacin en flujos irrotacionales Potencial de velocidad Parte B.Funcin de corriente y relaciones importantes Funcin de corrienteRelacin entre la funcin de corriente y el campo de velocidadRelacin entre la funcin de corriente y las lneas de corrienteRelacin entre la funcin de corriente y el potencial de velocidadpara flujos irrotacionales, bidimensionales e incompresiblesRelaciones entre las lneas de corriente y las lneas de potencialconstante Parte C. Anlisis bsico de flujo bidimensional,incompresible e irrotacional Un anlisis acerca de las cuatro leyesbsicas Condiciones de frontera para flujos no viscosos Coordenadaspolares Parte D. Flujos simples Naturaleza de los flu,jos simplesque se estudiarn Metodologas de solucin para flujo potencial Flujouniforme Fuentes y sumideros bidimensionales El vrtice simple Eldoblete Parte E. Superposicin de flujos simples bidimensionalesNota introductoria sobre el mtodo de superposicin Sumidero convrtice Flujo alrededor de un cilindro sin circulacin Sustentacin yarrastre para un cilindro sin circulacin Caso del cilindrogiratorio Suslentacin y arrastre para un cilindro con circulacin*Parte F. Flujos axisimtricos tridimensionales Introduccin Funcinde corriente de Stokes Relacin entre lneas de corriente, funcin decorriente y campo de velocidad Aplhcin de las leyes bsicas Flu.jouniforme Fuentes y sumideros tridimensionales Dobletetridimensional Flujo permanente alrededor de una esfera Flu,jsalrededor de cuerpos de revolucin Coll)fn Teora de capa lmitexii13.1 13 .i 1Anotaciones introductorias Espesor de la capa lmite502502 503 505 505 507 507 509 510 511 512 513 513 516 516 520 520 521524 524 526 528 533 533 533 535 537 538 541 545 545 546 547 549 550551 552 553 555 558 571 571 572 12. CONTENIDO13.3 13.413.5 13.613.7 13.8 13.9 13.1013.11 13.12 13.13 *13.14 13.15 13.16 14 14.114.2 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 *14.10 14.11 14.12 1515.115.2 15.3 15.4 15.5 15.6Ecuaciones simplificadas de la capa lmitepara flujo laminar; ecuacin de Blasius Ecuacin integral de momentumde Von Krmn y friccin superficial Parte A. Capas lmites laminaresUso de la ecuacin integral de onwlfw?z de Von Krmn Friccinsuperficial para flujo en una capa lmite laminar Transicin paraflujo en una placa plana Parte B.1 Capas lmites turbulentas: placaslisas Espesor de la capa lmite sobre placas planas lisas Arrastrepor friccin superficial sobre placas lisas Parte B.2 Capas lmitesturbulentas: placas rugosas Arrastre por friccin superficial encapa lmite turbulenta sobre placas rugosas Parte C. Flujo sobrecuerpos curvos sumergidos Flujo sobre fronteras curvas; separacin-Arrastre sobre cuerpos sumergidos Estela detrk de un cilindroPerfiles de alas; comentarios gcneralrs Temas adicionales sobreperfiles de alas, arrastre inducido y flujo transnico Colofn.-575581 583 583 586 591 593 593 596 602 602 606 606 609 620 621 625628Flujo a superficie libre645Introduccin Consideracin del perfilde velocidad Flujo normal Flujo normal: mtodos modernos Seccinhidkiulicamente ptima Ondas gravitacionales Energa especfica; flujocrtico Flujo variado en canales rectangulares cortos Flujogradualmente variado sobre canales largos Clasificacin de losperfiles superficiales para flujos gradualmente variados Flujorpidamente variado; el resalto hidrhulico Colofhn645 645 646 651655 658 660 668 672*Turbomaquinaria699Parte A. Consideracionesgenerales Introduccin Relaciones de similitud para turbomkluinasVelocidad especfica Las leyes bkicas Parte B. Turbinas Comentariosintroductorios Turbinas de inpulso499 699 70 I 704 707677 682687710 7 1 0 xiji 710 13. 16 16.1 16.216.3 16.4 16.5 16.616.7 16.816.9 16.10A.1 A.T. 1 A.T.2 A.T.3 A.I.4 A.I.5 A.1.6 A.I.7 A.1.8A.11B XiV715 720 723 723 724 731*Mecnica computacional defluidos739Introduccin Parte A. Mtodos numricos 1 Operacionesnumricas para derivacin e integracin Parte B. Problemas de flujorepresentados mediante ecuaciones diferenciales ordinarias Uncomentario Introduccin a la integracin numrica de ecuacionesdiferenciales ordinarias Notas sobre programacin Problemas Parte C.Problemas de flujo permanente representados mediante ecuacionesdiferenciales parciales Introduccin a los problemas de flujopermanente con valores frontera Flujo potencial Flujo viscosolaminar incompresible en un dueto Proyectos739 739 739773 779Mtodosde medicin15.9 15.10 15.11Turbinas de reaccin de flujo radial yaxial Turbinas (y compresores) de reaccin con cascadas de SlabesParte C. Ventiladores, bombas, sopladores y compresores Anotacionesintroductorias Bombas y sopladores de flujo radial ColofnRespuestasa problemas seleccionados Bibliografa15.7 15.8781IntroduccinMedicin de presiones Medicin de velocidades Medicin de caudal enflujo incompresible en tuberas Medicin de caudal en flujocompresible en tuberas Medidas de flujo a superficie libre; elvertedero Medicin de la viscosidad Colofn781 781 783 784 789 793796 800Deduccin de la ecuacin diferencial para el flujo adiabticoen rea constante para un gas perfecto801Curvas y tablas803ndice745745 745 747 748 760 760 764 767 770814 14. PREFACIOCon lapublicacin de la tercera edicin, este texto empieza la cuarta dcadade su existencia. En retrospectiva, ha tenido tres etapas dedesarrollo. La primera edicin represent un despegue radical de lostextos sobre fluidos en su tiempo. Por ejemplo, fue el primer textoque utiliz la ecuacin de transporte de Reynolds para establecer lasformas integrales de las leyes bsicas mediante volmenes de control.Asimismo, fue el primer texto que introdujo y utiliz el volumen decontrol no inercia]. Adems, present la deduccin de la ley deviscosidad de Stokes y la formulacin y el uso de las ecuaciones deNavier-Stokes. Estas innovaciones demostraron ser acertadas, ya quela primera edicin se utiliz ampliamente; lleg a 22 impresionesdurante 20 aos antes de dar paso a la segunda edicin. La segundaedicin se centr en el nrbrimipjztu de los temas. Se agregaroncaptulos sobre turbomaquinaria, mecnica computacional de fluidos yun apndice sustancial sobre instrumentacin. Tambin se completaronotros capitulos, particularmente el captulo sobre capa lmite. Eldesarrollo de la tercera edicin se facilit debido a una granoportunidad. Corno profesor de facultad mi enseanza no estrestringida a un solo departamento. Por consiguiente, a pesar deque pertenezco al departamento de ingeniera civil, en 1979 fuiinvitado por nuestro departamento de ingeniera mecnica yaeroespacial para dirigir el curso de segundo ao en mecnica defluidos a los estudiantes y tuve completa libertad en la forma depresentacin y contenido del curso. Ha habido entre 160 y 180estudiantes cada ao en esta clase. Particularmente valioso para mfue el hecho de que la mitad de la clase estaba compuesta porestudiantes de transferencia de una amplia gama de programas, quevariaban desde programas de ingeniera de universidades grandeshasta programas de preingeniera de universidades pequeas. Miexperiencia de ensear a una clase grande de estudiantes condiferentes tipos de preparacin ha sido la mejor forma paradesarrollar un libro. Por consiguiente, se me present unaoportunidad nica para trabajar en la tercera edicin. Asimismo, paracompensar la extraordinaria confianza dada por mis colegas en eldepartamento de ingeniera mecanica y aeroespacia), hubo una granmotivacin para mejorar el libro, en particular desde el punto devista pedaggico. La tercera edicin es el resultado de un esfuerzocontinuo, primordialmente en esta direccin, durante toda una dcada.Ahora presento algunos de los cambios hechos durante este periodo.Como escritor siempre he incluido material en el libro que va msall de lo que puede cubrirse formalmente en clase; esto incluye loque puede considerarse como material avanzado. En mis clasessiempre he dado un pequeo resumen de la mayor parte de estematerial con propsitos de orientacin. Adems, siempre deseo motivara los estudiantes para que estudien por su cuenta este materialdurante los cursos y, XV particularmente, en tiempos posteriores,en conexin con otros cursos ms avanzados. Mis estudiantes 15. medicen que esto es una prctica muy beneficioha, de manera que la heincorporado en la tercera edicin. Luego;. antes de cualquier seccinavanzada (seal,Ida con asterisco o con letra ms pequea) habr unaexplicaci I: resumida sobre lo que se har en forma ms cuidadosa yrigurosa inmediatamente despus. En los itimos aos he encontrado quelos estudia Ites tienen problemas al proyectar superficies curvasque son complejas pero que tienen aberturas simples, conXo lasuperficie exterior de un sistema de tuberas ramificado. En elcaptulo sobre hidrosttica se presentan an: lisis y problemas sobreeste tipo de superficies. Esto es particulermente benfico en elcaptulo 5 cuando se e.:tudia el flujo de momentum a travs de unvolumen de control que se extiende sobre el flujo interno de algnLparato. Pueden incluirse fuerzas que constan de fuerzas inrer7s ycalcular, por ejemplo, el empuje de un tu borreactor sobre un marcode prueba. En ciertas condiciones, utilizando simplementepre.rionesmanomtricx: ; en este clculo, se demuestra que la fuerza sobre lasuperficie exterior (que no hace parte de la superficie cr control)ocasionada por la presin atmosfrica estar autorn$-icamenteincluida. Deseo que los estudiantes consideren los voltimenes decontrol y las ecuaciones asociadas a stos con el mismo cuidado y lamisma precisin que se espera que ellos utilicen en los diagramas decuc rpo libre en mecnica de segundo ao. De manera especfica deseo,al menos en principio, que ellos consider:n el volumen de control yla ecuacin de r:lomentzrrn acompaante como un clculo separado delclculo de la fuerza sobre una superficie curva (exterirr,usualmente una superficie compleja que no hace parte de lasuperficie de control con aperturas simples y expuesta a la presinatmosfrica uniforme). Cuando se ha hecho estct con toda claridad,permito el uso de presiones manomtricas para simplificar losclculos. (Sin embargo, se han incluido problemas de trabajo dondeesto MI puede hacerse). Despus de este inicio cuidadoso,generalmente el texto utiliza la opcin de un clculo mis cortoutilizando presin manomtrica, cuando este enfoque se rjermite.Alicunos captulos, como los de flujo en tuberas y capa lmite,tienen numerosas definiciones y ecuaciones con rangos de aplicacinlimitados. He organizado estos captulos para que sean ms fciles deleer y de utilizar. Asimismo, al final de estos captulos presentohojas de resumen cuidadosamente distribuidas con los resultadosesenciales del captulo. Entre parntesis, yo permito que losestudiantes utilicen copias de estas hojas de resumen durante losexmenes (con el libro cerrado). Algunos profesores han pedido queomita algunas de mis notaciones personales a favor de otras usadasms ampliamente. As, por ejemplo, con pesar he remplazado smboloscomo ReY x por Re,, al igual que otros. Tambin por pedido dealgunos profesores se ha hecho un uso ms amplio de la libra-masa yde las medidas de al!ura de energa. Otro cambio de notacin estrelacionado con las componentes de velocidad. Es un caso de:afortunado que u, v y w representan las componentes dedesplazamiento en mecnica de slidos y tambin las componente,s develocidad en mecnica de fluidos. Donde no puede existir confusin,se han utilizado U, v y w como las componentes de velocidad en estetexto, por ejemplo, en las ecuaciones de Navier-Stokes. Cuando elmaterial tiene un uso ms universal, se ha utilizado V,, V, y V,para las componentes de velocidad. En coordenadas cilndricas,generalmente utilizo v,, v B y v:. Adems, se ha omitido el mtodocomplejo de altura equivalente en hidrosttica a favor de un mtododirecto mSs simple. Debido a la experiencia adquirida durantemuchos aos de enseanza y escritura de la secuencia de mecanica desegundo ao, de esttica, dinmica y mec6nica de slidos, he sidobastante sensible en este texto con respecto a la continuidad entrela mecnica de tluidos y las bases de los cursos de mecnicaanteriores. El esfuerzo para tener un uso ptimo de Ia notacin decomponentes de velocidad descrita antes es slo un ejemplo de estasensibilidad. xvjDos de mis revisores recomendaron con insistenciaque se reagruparan ciertos captulos de la tercera edicin en dosgrupos mayores que contenan los flujos internos y los flujosexternos, respectivamente. 16. --FPEFACIO _ _ _ -Despus de unacuidadosa consideracin llegu a la conclusin de que esto sera unmejoramiento y, por consiguiente, dicho cambio se ha establecido enest:( edicin. Mis estudiantes muestran mucho inters y curiosidndacerca de ciertos aparatos tanto modernos como histricos, como losautogiros, los dirigibles, las alas hacia aelante y otros. Enconsecuencia, al inicio de cada captulo se han colocado fotografasde algunos de estos aparatos junto con resenas interesantes. Enalgunos casos, se han presentado ejemplos y problemas basados endichos aparatos. He mantenido el rigor y la generalidad de lasediciones anteriores y he evitado algunas tendenc.as recientes dededucir la ecuacicin de transporte de Reynolds utilizando unvolumen de control simple especial o de deducir la primera ley dela termodinmica para volmenes de control utilizando el casoespecial de flujos unidimensionales simples hacia adentro y haciaafuera. Mis estudiantes no parecen tener ninguna dificultad c,)nmis deducciones generales y creo que al final tienen un mejorentendimiento de estas formulaciones. En la tercera edicin no haycaptulos nuevos, pero s muchos nuevos ejemplos y nuevas secciones.Se han agregado, por ejemplo, secciones sealadas con asterisco enel captulo 7, en las que se deducen las formas diferenciales de lascuatro leyes bsicas mediante procedimientos idnticos, utilizados enotros campos, a partir de las formas integrales de estas leyes.Esto se hace con ayuda de la frmula de Cauchy y el teorema deGauss, cuyas deducciones son parte del anlisis. Se introducir alestudiante a la notacin ndice si decide leer o estudiar estematerial. He encontrado que los estudiantes ms avanzados de tercerao son capaces de manejar este material por s solos nicamente conayuda mnima. Adems de las secciones y explicaciones nuevas, haycuarenta proyectos en computador que por falta de espacio, se hanpresentado en el manual del instructor. Se recomienda al instructorreproducir cualquiera de estos proyectos para el uso de losestudiantes. Yo asigno dos o trles en un semestre. Esto esadicional a la carga regular de lectura y de solT,cin de problemas.Finalmente, se incorporaron ms de 300 problemas, la mayor parte enunidades S. 1. Otra caracterstica que he incluido en el texto es lafl._wibilidud en el sentido de que en varios puntos importanteshay rutas mltiples, sealadas en las notas de pie de pgina, b.lue ellector puede seguir. Como ejemplo, el flujo de Poiseuille entuberas se deduce utilizando los primeros principios en el captulo7. En esa parte se informa al lector que puede remitirse a ciertassecciones del captulo 9 donde se establecen las ecuaciones deNavier-Stokes y donde este flujo se deduce utilizando directamenteestas ecuaciones. L,uego, el lector puede volver al captulo 7 ycontinuar. Como otro ejemplo, en el captulo sobre el tlujo entuberas el lector tiene la oportunidad de utilizar la teora delongitud de mezcla de Prandtl. con las precauciones apropiadassealadas para sus limitaciones, o un mtodo ms corto de anllisisdimensional. (El lector tambin puede perder la cabeza y hacerlosambos). En resumen, considero que esta tercera edicin, aunquemantiene el rigor y el nivel de las ediciones anteriores, es msfcil para el instructor. y ms fcil y efectiva para el estudiante.Adems, con la aprobacin entusiasta de muchos de mis estudiantes, hetrabajado para hacer que este libro se utilice durante mucho tiempodespus de que se termine el curso. En realidad, mi deseo esconvertirlo en un elemento en el que se confe y que sea familiar enla biblioteca tcnica del estudiante para que los utilice durante sucarrera. Deseo agradecer al profesor Amitabha Gosh, del RochesterInstitute of Technology, al profesor Duen-Ren Jeng, de laUniversidad de Toledo, y al profesor James Leith, de la Universidadde Nuevo Mxico; fueron excelentes revisores y ofrecieron muchassugerencias y crticas valiosas; en particular, los profesores Leithy Gosh me convencieron acerca del agrupamiento de los tlujosinternos y externos. El profesor Goodarz Ahmadi, de la Universidadde Clarkson, ha sido una fuente constante de consejos y sabidura enel transcurso de los aos desde la primera edicin. l ha revisado enforma cuidadosa y detallada el manuscrito completo XVii de latercera edicin y ha hecho muchas observaciones valiosas ybrillantes, las cuales condujeron a los 17. PREFACIOcambiosincluidos en el texto. iNunca podr agradecerle lo suficiente!Agradezco tambin a mi colega y amigo de Buffalo, el profesor JosephAtkinson, por su revisin cuidadosa y til del captulo sobre flujo asuperficie libre y el uso de algunas fotos de sus laboratorios. ElDr. Steve Ma, cuando era estudiante de doctorado en Buffalo, trabajen los proyectos de computador y revis el manuscrito final. Leagradezco sus expertas contribuciones. Expreso mi gratitud al Dr.Anoop Dhingra, quien, cuando era estudiante en Buffalo, tambintrabaj en los proyectos de computador. La seorita Marca Lam y elseor Jon Luntz, estudiantes en Buffalo, verificaron mis solucionesa los nuevos problemas que se incluyeron en la tercera edicin.Agradezco a estos excelentes estudiantes. Finalmente, agradezco ami secretaria, la seora Debra Kinda, por sus excelentes eincansables esfuerzos en la mecanografa. Irving H. Shamesxviii 18.PRIMERAP RINCIPIOSPARTEB S I COSDE MECNICA DE FLUIDOS 19.PRINCIPIOS BASICOSDE MECbICADE FLUIDOSPrototipo de tecnologaavanzada X-29. (Corfesade GrurnmanCorporafion,Befhpnge,N.Y.)Ingenieros alemanes empezaron a experimentar con alas extendidashacia adelante durante la Segunda Guerra Mundial. Grumman Aviationinici experimentos con este tipo de alas en 198 1. El programa deinvestigacin ha mostrado que un ala extendida hacia adelante secomporta aproximadamente un 20% mejor en el rgimen transnico que unala equivalente, extendida hacia atrs. La ventaja de tener unarrastre menor en su envoltura operacional completa, en particularpara velocidades alrededor de Mach 1, permite el uso de un motor mspequeo. En comparacin con un ala extendida hacia atrs, el alaextendida hacia adelante ofrece una mayor maniobrabilidad, un mejormanejo para velocidades bajas y unas velocidades de prdida desustentacin menores con buenas caractersticas posprdida. Debido aque las alas extendidas hacia adelante se colocan ms atrs en elfuselaje, es posible una mayor flexibilidad en el diseo de ste. Sinembargo, prevalecen efectos aeroelsticos desfavorables para alasmetlicas extendidas hacia adelante, requirindose alas ms fuertes ypor consiguiente ms pesadas, 10 que contrarresta las ventajaspotenciales antes mencionadas. La llegada de materiales compuestosavanzados proporciona una solucin. Tejidos aeroelsticos decompuestos epxicos de grafito permiten que el ala extendida haciaadelante tenga su borde de ataque inclinado hacia abajo con el finde contrarrestar el pandeo que experimenta hacia arriba debido alas cargas de vuelo. Finalmente, debe agregarse que existenproblemas de control para condiciones de vuelo subsnico en estaclase de aeronaves. La inestabilidad se controla mediante unsistema avanzado de control de vuelo digital. el cual ajusta lasuperficie de control hasta 40 veces por segundo. Este sistema esmanejado por tres computadores.2 20. 1.1 NOTA HISTRICAHastaprincipios del presente siglo el estudio de los fluidos fuedesarrollado esencialmente por dos grupos: los ingenieroshidrulicos y los matemticos. Los ingenieros hidrulicos trabajarondesde un punto de vista emprico, mientras que los matemticos secentraron en enfoques analticos. La gran cantidad y usualmenteingeniosa experimentacin del primer grupo produjo mucha informacincon valor incalculable para los ingenieros practicantes deentonces; sin embargo, debido a la carencia de los beneficios de lageneralizacin propios de una teora practicable, estos resultadoseran restringidos y de valor limitado en situaciones nuevas.Mientras tanto, los matemticos, por el hecho de no aprovechar lainformacin experimental, se vieron forzados a establecer hiptesistan simplificadas que produjeron resultados aveces completamenteopuestos a la realidad. Fue evidente para investigadores eminentes,como Reynolds, Froude, Prandtl y Von Krmn, que el estudio de losfluidos debe ser una mezcla de teora y experimentacin. Con ellosnace la cienciademecnicade fluidos, tal como se conoce actualmente.Los modernos centros de investigacin y ensayos emplean matemticos,fsicos, ingenieros y tcnicos calificados quienes, trabajando enequipo, mezclan estos dos puntos de vista con grados diferentessegn su trabajo.1.2FLUIDOS Y EL CONTINUOUn fluido se define comouna sustancia que cambia su forma continuamente siempre que estsometida a un esfuerzo cortante, sin importar qu tan pequeo sea. Encontraste un slido experimenta un desplazamiento definido (o serompe completamente) cuando se somete a un esfuerzo cortante. Porejemplo, el bloque slido queEsfuerzo cortante1Figura 1.1 Esfuerzocortante en un slido y en un fluido.Esfuerzo cortante 21.PRINCIPIOS BASICOSDE MECANICADE FLUIDOSse muestra a la izquierda enla figura 1.1 cambia su forma de una manera caracterizadaconvenientemente por el ngulo Aa cuando se somete a un esfuerzocortante r. Si ste fuera un elemento de fluido (como se muestra ala derecha en la figura 1.1) no existira un Aa fijo ni aun para unesfuerzo cortante infinitesimal. En lugar de esto, persiste unadeformacin continua siempre que se aplique el esfuerzo cortante T.En materiales que se conocen algunas veces como plsticos, como laparafina, cualquiera de estos tipos de deformacin al corte puedepresentarse dependiendo de la magnitud del esfuerzo cortante.Esfuerzos cortantes por debajo de cierto valor inducendesplazamientos definidos similares a los de un cuerpo slido,mientras que esfuerzos cortantes porencima de este valor causandeformaciones continuas similares alas de un fluido. La magnituddel esfuerzo cortante divisorio depende del tipo y del estado delmaterial. Algunos de estos materiales se conocen como materiales deBingham, como se discutir en la seccin 1.7. Al considerar variostipos de fluidos en condiciones estticas, algunos presentan cambiosmuy pequeos en su densidad a pesar de estar sometidos a grandespresiones. Invariablemente, estos fluidos se encuentran en estadolquido cuando presentan este comportamiento. En talescircunstancias, el fluido se denomina incompresible y se supone quesu densidad es constante para los clculos. El estudio de fluidosincompresibles en condiciones estticas se conoce como hidrosttica.Cuando la densidad no puede considerarse constante bajo condicionesestticas como en un gas, el fluido se denomina compresible y,algunas veces, se utiliza el trmino aerosttica para identificaresta clase de problemas. La clasificacin de compresibilidad dadaanteriormente est reservada para esttica. En dinmica de fluidos,los casos en los cuales la densidad puede tratarse como unaconstante involucran algo ms que la naturaleza del fluido. Enrealidad, esto depende principalmente de un determinado parmetro deflujo (el nmero de Mach). Por consiguiente, se habla de flujosincompresibles y compresibles, en lugar de flfuidos incompresibleso compresibles. Cuando en un problema las variaciones en ladensidad son insignificantes, los gases y los lquidos se analizande la misma manera. Por ejemplo, para el flujo alrededor de cuerpossumergidos por completo, las ecuaciones bsicas para aerodinmica debajas velocidades (por debajo de 300 millas/hora aproximadamentejson las mismas que para hidrodinmica. De hecho, es posible examinaralgunas caractersticas de comportamiento de perfiles aerodinmicosde bajas velocidades en un tnel de agua. Los fluidos estncompuestos por molculas con movimientos y colisiones constantes.Para ser exacto en un anlisis, debeta tenerse en cuenta la accin decada molcula o grupo de molculas en un flujo. Tales procedimientosse adoptan en la teora cintica de los gases y en la mecnicaestadstica pero son, en general,Fuerza F h i gA A 1 u r aTiempo.2Efecto de no continuo sobre un elemento de rea.demasiadocomplejos para utilizarlos en aplicaciones de ingeniera. En lamayor parte de los clculos de ingeniera, el inters se centra enmanifestaciones promedio medibles de muchas molculas, como, porejemplo, densidad, presin y temperatura. Estas manifestacionespueden suponerse convenientemente como el resultado de unadistribucin continua hipottica de materia, conocida como elcontinuo, en lugar del conglomerado real complejo de las molculasdiscretas. El concepto de continuo permite una gran simplificacinen el anlisis y se han utilizado ya en cursos anteriores de mecnicalos conceptos de un cuerpo rgido o cuerpo perfectamente 4 elstico.22. NOCIONESFUNDAMENTALESEl enfoque de continuo debe utilizarsesolo donde arroje resultados razonablemente correctos. Por ejemplo,el concepto de continuo no es vlido cuando la trayectoria libremedia de las molculas es del mismo orden de magnitud que lalongitud significativa ms pequea del problema. En talescircunstancias no pueden detectarse con facilidad lasmanifestaciones globales de las molculas: por consiguiente la accinde cada molcula o grupo de molculas es significativa y debetratarse consecuentemente. Para ilustrar esto, se examin la accinde un gas sobre un elemento de rea circular dentro de un tanquecerrado. Aun con la presencia de una cantidad relativamente pequeade fluido dentro de este volumen, las innumerables colisiones demolculas sobre la superficie producirn una manifestacin de fuerzaglobal independiente del tiempo. Una sustancia realmente continuasimular esta accin bastante bien. Si existe slo una pequea cantidadde gas dentro del tanque, de manera que la trayectoria libre mediaes del mismo orden de magnitud que el dimetro del elementoconsiderado, se observa una actividad errtica a medida que lasmolculas individuales o los grupos de molculas bombardean lasuperficie. No puede seguir hablndose de una fuerza constante sinode una variacin errtica de la fuerza, como se indica grficamente enla figura 1.2. Esta accin no es lo que se espera en una distribucincontinua de masa. Luego, se ve que el enfoque del continuo puedeaplicarse a la primera situacin pero que en el segundo caso, alignorar los efectos de molculas individuales, sera cuestionable.Puede alcanzarse la misma situacin para cualquier cantidad de gasdentro del tanque disminuyendo el tamao del elemento de rea hastaque los efectos moleculares irregulares se vuelvan significativos.Debido a que el enfoque del continuo no toma en consideracin laaccin en lo pequeo, no puede conducir a resultados acertados en lopequeo.1.3 DIMENSIONES Y UNIDADES En el estudio de mecnica debenestablecerse abstracciones para describir aquellas manifestacionesdel cuerpo que sean de inters. Estas abstracciones se conocen comodimensiones, son independientes de otras dimensiones y se denominandimensiones primarias o bsicas; aquellas que se definen en funcinde las dimensiones bsicas se conocen como dimensiones secundarias.De todos los conjuntos posibles de dimensiones bsicas que puedenutilizarse, este texto se limitar al conjunto que incluye lasdimensiones de longitud, tiempo, masa y temperatura. Tambin puedeutilizarse fuerza en lugar de masa en la lista de dimensionesbsicas. Para propsitos cuantitativos, diferentes grupos y pases hanadoptado unidades de medida para estas dimensiones bsicas. El U. SCustomary System (USCS) emplea la libra-fuerza, el pie, el segundoy el grado Rankine, como las unidades para las dimensiones bsicas.El sistema internacional de unidades (SI) usa el newton, el metro,el segundo y el grado Kelvin. La tabla 1.1 muestra algunos de lossistemas de unidades ms utilizados. Es conveniente identificarestas dimensiones en la siguiente forma: Longitud L T Tiempo FuerzaF Temperatura 8 Estas expresiones formales de identificacin de lasdimensiones bsicas y las agrupaciones ms complicadas necesariaspara representar las dimensiones secundarias se conocen comorepresentaciones dimensionales. La trayectoria libre media es ladistancia promedio cubierta por las molculas entre colisiones. 23.PRINCIPIOS BASICOSDE MECANICADE FLUIDOSTabla 1.1 Sistemas deunidades ms utilizados Mtrico Centmetro-gramo-segundo (cgs)MasaLongitud Tiempo Fuerza TemperaturaSIgramo k> centmetro (cm)segundo (s) dina (din) grado Kelvin (K)Masa Longitud Tiempo FuerzaTemperaturakilogramo (kg) metro (m) segundo (s) newton (N) gradoKelvin (K)U. S. Customary System Tipo 1Masa Longitud Tiempo FuerzaTemperaturaTipo IIlibra-masa (lbm) pie segundo (s) libra-fuerza(lbf) grado Rankine (R)Masa Longitud Tiempo Fuerza Temperaturaslug(slug) pie segundo (s) libra fuerza (lbf) grado Rankine (R)Lasdimensiones secundarias estn relacionadas con las dimensionesbsicas mediante leyes o mediante definiciones. Por tanto, larepresentacin dimensional de tales cantidades estar en funcin delas dimensiones bsicas. Por ejemplo, la representacin dimensionalde velocidad Ves:Siguiendo este esquema, la presin tienedimensiones FIL2 y la aceleracin se expresa dimensionalmente comoLl?. Un cambio a un nuevo sistema de unidades por lo generalimplica un cambio en la escala de medida de las dimensionessecundarias. El uso de la representacin dimensional dadaanteriormente permite cambiar de escala con facilidad. Por ejemplo,en los manuales se encuentralaunidad de medida de presin en elUSCS, 1 Ib de fuerza por 1 pie2 es equivalente a 47.9 unidades enla escala de presin del sistema SI, o 47.9 N/m2 (= 47.9 Pa). Launidad N/m2 se conoce como un Pascal (Pa) en el sistema SI. Puedellegarse a este resultado escribiendo la presin dimensionalmente,sustituyendo las unidades bsicas de USCS y cambindolas luego a lasunidades SI equivalentes, como sigue:4.45 N 0.0929 m= 47.9N/mPorconsiguiente,61 Ibf/pie 2 = 47.9 N/m = 47.9 Pa 24.NOCIONESFUNDAMENTALESEn la parte interna de la portada ycontraportada de este libro se presentan las equivalencias fsicasde algunas unidades de uso comn en mecnica de fluidos. Otra tcnicaes formar la relacin entre una unidad de una dimension bsica osecundaria y el valor apropiado de otra unidad de la misma dimensinbsica o secundaria, de manera que exista equivalencia fsica entrelas cantidades. Desde este punto de vista, la fraccin se consideracomo la unidad debido a la relacin uno a uno entre el numerador yel denominador. Entoncesf1 pic - -1,12 pulg1Para otra unidad, puededecirse:iI___ E 1 l2 pg j 305 mmstas deben tomarse como ecuacionesde equivalencia y no como relaciones algebraicas en sentidocorriente. Multiplicando una expresin por tal relacin no cambia lamedida de la cantidad fsica representada por la expresin; portanto, para cambiar una unidad en una expresin, se multiplica estaunidad por la relacin equivalente a la unidad de manera que launidad anterior se cancele dejando la unidad deseada. Porconsiguiente, puede llevarse a cabo un cambio de unidades en elcaso previo en una forma ms conveniente, utilizando el formalismodado anteriormente en las expresiones del numerador y deldenominador. Luego,Es preferible emplear estas ltimas tcnicas,debido a que puede incurrirse en error con el uso de mtodosintuitivos menos formales. En mecnica de fluidos, como se anotantes, se manejan dimensiones secundarias para representarmanifestaciones moleculares globales y medibles, como la presin yla densidad. Las manifestaciones que son principalmentecaractersticas de un fluido particular y no de un flujo, se conocencomo propiedades del fluido. La viscosidad y la tensin superficialson ejemplos de propiedades del fluido, mientras que la presin y ladensidad de gases dependen en primer lugar del flujo y, porconsiguiente, no se consideran propiedades del fluido.1.4LEY DE LAHOMOGENEIDAD DIMENSIONALCon el fin de determinar las dimensiones depropiedades establecidas mediante leyes, primero debe discutirse laley de la homogeneidad dimensional. sta afirma que una ecuacindeducida analticamente que representa un fenmeno fsico debe servlida para todos los sistemas de unidades.As, la ecuacin para lafrecuencia de un pndulo, f = (1/2z)Jg/Lest planteadaapropiadamente, 25. PRINCIPIOS BASICOSDE MECANICADE FLUIDOSencualquier sistema de unidades. Una explicacin plausible para la leyde la homogeneidad dimensional es que el fenmeno natural ocurre sintener conciencia de las unidades creadas por el hombre y, porconsiguiente, las ecuaciones fundamentales que representan talesfenmenos deben ser vlidas para cualquier sistema de unidades. Poresta razn, las ecuaciones fundamentales de la fsica sondimensionalmente homogneas, de manera que todas las relacionesdeducidas a partir de estas ecuaciones tambin deben serdimensionalmente homogneas. Qu restriccin impone esta independenciade unidades en la ecuacin? Para contestar esta pregunta, examnesela siguiente ecuacin arbitraria:Para que esta ecuacin seadimension: rlente homognea, la igualdad numrica a ambos lados de laecuacin debe mantenerse en todos los sistemas de unidades. Para queesto se cumpla, el cambio de escala en cada expresin debe ser elmismo durante el cambio de unidades. Es decir, si una expresin talcomo yqG3 se duplica en valor numrico en el nuevo sistema deunidades, tambin deben duplicarse las expresiones x y a3. Pura queesto ocurra en todos los sistemas de unidades, es necesario quecada grupo en la ecuacin tenga la misma representacin dimensional.Como ilustracin adicional, considrese la siguiente representacindimensional de una ecuacin que no es dimensionalmente homognea: L =T2 f TAl cambiar las unidades de pies a metros cambiar el valor dellado izquierdo sin afectar el lado derecho e invalidando la ecuacinen el nuevo sistema de unidades. En este texto, casi todas lasecuaciones consideradas son dimensionalmente homogneas. Teniendoesto en mente, examnese una forma comn de la ley de Newton, queestablece que la fuerza aplicada a un cuerpo es proporcional a laaceleracin resultante. Luego, FaaEl factor de proporcionalidad seconoce como masa (M). Utilizando la ley de homogeneidaddimensional, las dimensiones de masa deben serLa masa puedeconsiderarse como la propiedad de la materia que resiste laaceleracin. Por consiguiente, es posible escoger la masa como unadimensin bsica y, en consecuencia, la fuerza sera una entidaddependiente dada dimensionalmente a partir de la ley de Newtoncomo8y el sistema bsico de dimensiones sera masa (M), longitud (L),tiempo (T), y temperatura (61). 26. NOCIONES1.5FUNDAMENTALESUNANOTA SOBRE FUERZA Y MASAEn unidades USCS, la cantidad de masa quese acelera a una tasa de 1 pie/s2 bajo la accin de 1 lbf de acuerdocon la ley de Newton se define como slug. La libra-fuerza puededefinirse en funcin de la deformacin de un cuerpo elstico, como unresorte en condiciones de temperatura preestablecidas.Desafortunadamente, tambin es de uso comn una unidad de masaestipulada de manera independiente de la ley de Newton y queproviene de la ley de atraccin gravitacional, en la cual seestablece que la fuerza de atraccin entre dos cuerpos esproporcional a su masa, la misma propiedad de la materia de la leyde Newton. Por consiguiente, la libra-masa (lbm) se define como lacantidad de materia que es halada hacia abajo en la superficie dela Tierra por la gravedad terrestre con 1 lbf. Por tanto, se hanformulado dos unidades de masa debido a dos acciones diferentes y,para relacionarlas, estas unidades deben someterse a la mismaaccin. Luego, puede tomarse la libra-masa y ver qu fraccin omltiplo de sta se acelerar a 1 pie/? bajo la accin de 1 Ib defuerza. Esta fraccin o mltiplo representar el nmero de unidades delibras-masa que son fsicamente equivalentes a 1 slug. Se encuentraque este coeficiente es g,, donde g, tiene el valor correspondientea la aceleracin de la gravedad en una posicin sobre la superficiede la Tierra donde se estandariz la libra-masa*. El valor de g, es32.2, con 3 cifras significativas. Luego, se llega a la siguienterelacin de equivalencia: 1slug 5 32.2 Ibni(1.0iCmo entra el peso eneste esquema? El peso se define como la fuerza de gravedad sobre uncuerpo. Su valor depender de la posicin del cuerpo con relacin a lasuperficie de la Tierra. En un lugar sobre la superficie de laTierra donde se estandariz la libra-masa, una masa de 1 Ibm tieneun peso de 1 Ibf; pero al incrementar la altitud, el peso ser menorque 1 lbf. Sin embargo, la masa permanece siempre igual a unalibramasa. Si la altitud no es muy grande, la medida de peso, enlibras-fuerza, ser prcticamente igual a la medida de la masa, enlibras-masa. Por consiguiente, es una desafortunada prctica deingeniera pensar errneamente que el peso en posiciones diferentes ala superficie de la Tierra es igual a la medida de la masa y, delmismo modo, utilizar el smbolo W para representar libras-masa ylibras-fuerza. En esta poca de cohetes y misiles, es necesario sercuidadoso con el uso correcto de las unidades de masa y de peso entodo el texto. Si se conoce el peso de un cuerpo en algn lugar,puede determinarse su masa fcilmente, siempre y cuando se conozcala aceleracin de la gravedad g en ese punto. Luego, de acuerdo conla Ley de Newton,W(Ibf) = M(slugs)g(pie/s2) Por consiguiente,M(sl11gs)=W( Ibf) -g(pie/s)-(1.2)En el sistema USCS hay dosunidades de masa, que son el slug y la Ibm. En contraste, lasunidades SI utilizadas por mucha gente involucran dos unidadesdefuerza, como se ver a continuacin. La unidad bsica para la masaen SI es el kilogramo que es la cantidad de masa que se acelerar 1m/s2 bajo la accin de una2 La notacin gC tambin se usaextensivamente para esta constante. 27. -__PRINCIPIOS B.kSICOSDEMEChICADE FLUIDOSfuerza de 1 N. Desafortunadamente, el kilogramotambin se usa como una medida de fuerza, ya que es comn encontrarsecon frases como el cuerpo C pesa 5 kg. Un kilogramo de fuerza es elpeso medido en la superficie de la Tierra de un cuerpo A con unamasa de 1 kg. En posiciones apreciablemente por encima de lasuperficie terrestre, el peso del cuerpo A disminuir pero su masapermanecer constante todo el tiempo e igual a 1 kg. Porconsiguiente, el peso en kilogramos es numricamente igual a la masaen kilogramos slo en la superficie de la Tierra donde la aceleracinde la gravedad es 9.806 m/s. Debe tenerse cuidado, porconsiguiente, al usar el kilogramo como una medida de peso. En estetexto se emplear nicamente el newton, el kilonewton, etc., como launidad para fuerza. iCul es la relacin entre el kilogramo fuerza yel newton fuerza? Esto se establece fcilmente cuando se hace lasiguiente observacin: 1 N acelera 1 kg de masa 1 m/s2 1 kg fuerzaacelera 1 kg masa 9.806 m/s2 Es claro que 1 kg fuerza equivale a9.806 N. Adems, un newton equivale aproximadamente a un quinto delibra.Eje de velocidadtFigura 1.3 Flujo paralelo bien ordenado.iCules la masa M de un cuerpo que pesa W newtons en un lugar donde laaceleracin de la gravedad es g metros por segundo cuadrado? Paraesto solamente se necesita utilizar la ley de Newton, Luego,(1.3)Eneste libro se utilizan ambos sistemas de unidades, pero con mayornfasis en las unidades SI.1.6LEY DE VISCOSIDAD DE NEWTON: ELCOEFICIENTE DE VISCOSIDADUna propiedad muy importante se introducircomo consecuencia de la ley de viscosidad de Newton. Para un flujobien ordenado 3 en el que las partculas de fluido se mueven enlneas rectus y parulelas (flujo paralelo), la ley estabiece quepara ciertos fluidos conocidos comoflfluidos newtonianos, elesfuerzo cortante sobre una interfaz tangente a la direccin deflujo es proporcional a la tasa de cambio de la velocidad con103Tal flujo, conocido como laminar, se encuentra libre defluctuaciones macroscpicas de velocidades. Esto se estudiar endetalle en el captulo 9. 28. NOCIONESFUNDAMENTALESrespecto a ladistancia, donde la diferenciacin se toma en una direccin normal ala interfaz. Matemticamente se establece comoLa figura 1.3 puedeexplicar con ms detalle esta relacin. Se escoge un reainfinitesimal en el flujo que sea paralela al eje de velocidadhorizontal, como se muestra. Se dibuja la normal t a esta rea y segrafican las velocidades del fluido en puntos a lo largo de lanormal, formando de esta manera un perfil de velocidad. Lapendiente del perfil hacia el eje II en la posicin correspondienteal elemento de rea es el valor dV/&z, el cual se relaciona, talcomo se plante anteriormente, con el esfuerzo cortante 7 presenteen la interfaz. Tabla 1.2 Propiedades de lquidos comunes a 1 atm y20CLquidoViscosidad /.L kg ! (m *s) slug / (pie *s)Viscosidadcinemtica u mlspie / sMbdulo dc elasticidad volumtrica K Tensinsuperficial o __ __GPa Ib / pulg2 N Im l 3 / pieAlcohol (etlico)Gasolina Mercurio Aceite (Lubricante) ApIAl insertar el coeficientede proporcionalidad en la ley de viscosidad de Newton se llega alresultado (1.4) donde /i se conoce como el coejiciente deviscosidad, el cual tiene dimensiones (F/L)T o MILT. En el sistemade unidades cgs, la unidad de viscosidad es el poise, quecorresponde a 1 g/cms. El centipoise es l/lOO de un poise. Launidad SI para la viscosidad es 1 kg/ms. sta no tiene un nombre enparticular y es 10 veces mayor que el poise, como se deduceutilizando las unidades bsicas. En el sistema USCS, la unidad delcoeficiente de viscosidad es 1 slug/pies y en el sistema SI notiene nombre. En la tabla 1.2 se presentan los coeficientes deviscosidad para lquidos comunes a 1 atm y 20C de temperatura. Lascaracters[rcas de viscosidad tambin se presentaron en la figura B.1 del apndice para cierto nmero de fluidos importantes. Como seestableci previamente, la viscosidad no depende en gran medida dela presin. Sin embargo, en la figura B.l se observa que laviscosidad de un lquido disminuye con un aumenfo en la temperatura,mientras que en un gas curiosamente ocurre lo contrario. Laexplicacin de estas tendencias es la siguiente: en un lquido lasmolculas tienen una movilidad limitada con fuerzas cohesivasgrandes presentes entre las molculas. Esto se manifiesta en lapropiedad del fluido que se ha llamado viscosidad. Un aumento en latemperatura disminuye la cohesin entre las molculas (en promedio,se apartan ms) y existe un decrecimiento en la pegajosidad delfluido, es decir, un descenso en la viscosidad. En un gas las $1molcculas tienen una gran movilidad y generalmente estn apartadaspues, en contraste con un 29. PRINCIPIOSAsrcosDE MECANICADEFLUIDOSlquido, existe poca cohesin entre ellas. Sin embargo, lasmolculas interactan chocando unas con otras durante sus movimientosrpidos. La propiedad de viscosidad resulta de estos choques. Parailustrarlo, considrense dos paquetes adyacentes pequeos perofinitos de fluidos A y B en el tiempo t en un flujo simple yparalelo de un gas de la clase que se estudi al comienzo de estaseccin. Esto se muestra en la figura 1.4. Como puede verse en eldiagrama, el paquete A se mueve ms rpido que el paquete B. Estosignifica que, en promedio, las molculas dentro del paquete A semueven ms rpido hacia la derecha que las molculas dentron,PerftldevelocidadesFigura 1.4Flujo paralelo de un gas en el tiempo t. delpaquete B. Adems del movimiento promedio de las molculas, existetambin una migracin aleatoria de molculas desde el paquete A haciael paquete B a travs de su interfaz y viceversa. Considrese primerola migracin desde A hasta B. Cuando las molculas A se mueven hastaB, habr algunos choques entre las molculas A y las molculas B.Debido a que las molculas A, en promedio, se mueven mas rpidamenteen la direccin x que las molculas B, existir una tendencia aacelerar las molculas B en la direccin X. Esto significa queexistir una tendencia macroscpica a que el paquete B se acelere.Desde el punto de vista del continuo, parecer como si existiera unesfuerzo cortante r en la cara superior de B que acelera a B. Estose muestra en la figura 1.5. Mediante una accin similar, lasmolculas lentas que viajan desde B hasta A tienden a desacelerar elpaquete A. Macroscpicamente esto puede considerarse como elresultado de unII 1! 12Figura 1.5 xEsfuerzo cortante en lospaquetes A y B.esfuerzo cortante 7 sobre la interfaz inferior A.Tales esfuerzos sobre los otros paquetes de fluido donde existe unavariacin macroscpica de velocidad con respecto a la posicinproducen la pegajoSihd del OR9 2 V,, tlll-l,n ,-Ctn ,,l-i&,,219 lW,W&dd Wt-WWiPCl= XiCPnQO A rn4;rl.x I,P 1 30.NOCIONES FUNDAMENTALEStemperatura es mayor, la tendencia de lasmolculas a la migracin ser mayor, y por consiguiente 5 ser mayorpara este caso simple, debido a que se esperarn ms colisiones demolculas de A viajando hacia B, y viceversa. Esto producir unamayor pegajosidad y, por consiguiente, una mayor viscosidad. Enresumen, la viscosidad de un lquido ocurre por la cohesin demolculas. Esta cohesin y, por tanto, la viscosidad disminuyencuando la temperatura aumenta. Por otra parte, la viscosidad de ungas es el resultado del movimiento aleatorio de las molculas. Estemovimiento aleatorio aumenta con la temperatura, de manera que laviscosidad aumenta con la temperatura. Nuevamente se nota que lapresin tiene solo un efecto pequeo sobre la viscosidad y, por logeneral, ste no se toma en cuenta. La variacin de la viscosidad delos gases con la temperatura puede aproximarse por alguna de lassiguientes dos leyes conocidas, respectivamente, como la ley deSutherlund y la ley de potencia, como sigue:(1.5) Ley depotencia(1.6)donde p0 es una viscosidad conocida a una temperaturaabsoluta T0 y donde S y TZ son constantes determinadas mediante elajuste de una curva. Ntese que T es la temperatura absoluta a lacual est evalcndose 1. Para determinar la viscosidad de loslquidos, se utiliza la siguiente f6rmula simple: p=/LI-(1.7)donde A y B son constantes encontradas nuevamente alajustar datos a una curva para un lquido particular. Al retornar elanlisis general de viscosidad, puede indicarse que la mayor partede los gases y de los lquidos simples son fluidos newtonianos y porconsiguiente se comportan de acuerdo con la ley de viscosidad deNewton en las condiciones esbozadas. Pastas, lodos, grasas ypolmeros de alta densidad son ejemplos de fluidos que no puedenconsiderarse como newtonianos. Existe una ley de viscosidad msgeneral, conocida como ley de viscosidad de Stokes, que se aplica aflujos de fluidos newtonianos considerablemente ms generales quelos tratados en esta seccin. Esto se examinar en el captulo 10. Sinembargo, en aplicaciones como problemas de lubricacin derodamientos se permite no tener en cuenta la curvatura de flujo yutilizar la ley relativamente simple de viscosidad de Newton; estose debe a que el espesor de la pelcula de lubricacin es muy pequeocomparado con el radio del rodamiento. Por consiguiente, losdominios de los flujos que tienen dimensiones comparables alespesor de la pelcula involucran cambios muy pequeos en la direccinde flujo y puede considerarse como si en estos dominios elflujofuera puruZeZo4, permitindose el uso de la ley de viscosidad deNewton (para fluidos newtonianos). Adems, en flujo de fluidosreales (los cuales siempre tienen alguna viscosidad), en contrastecon flujos hipotticu-4 Una explicacin intuitiva para esto puedeobtenerse al notar que al observar una regin pequea alrededor deuno mismo, donde la dimensin de esta regin es mucho menor que elradio de la Tierra, no se siente la curvatura total de la Tierra enel lugar donde se encuentra parado. .:. . . j_ 31. PRINCIPIOSBASICOSDE MEChICADE FLUIDOSmente sin friccin, o flujos no viscosos,el fluido en contacto con una frontera slida debe pegarse a talesfronteras y, por consiguiente, debe tener la misma velocidad de lafrontera 5.Figura 1.6 Eje que rota en un cojinete lubricado.ColmetePor ejemplo, considrese el eje A de la figura 1.6 como unaseccin transversal que rota con una velocidad o rad/s dentro de uncojinete de un rodamiento, con una pelcula delgada de aceite deespesor e separando los cuerpos. En este caso, puede aproximarse elperfil de velocidad, debido a que e es muy pequeo comparado con elradio, como un [email protected] Zineal, como se muestra en el diagrama. Elesfuerzo cortante sobre todas las interfaces de aceiteperpendiculares a las lneas radiales puede darse como:0.1 mmD=,Pellculade aceiteFigura 1.7 Cilindro A que se desliza dentro de untubo lubricado..xstFigura 1.8 Perfil lineal de velocidad en unapelcula.5 En flujos con velocidades muy altas iguales a 5 o msveces la velocidad del sonido puede existir un deslizamiento de losfluidos reales con respecto a las fronteras slidas, los cuales seconocen comopujos deslizantes. 32. NOCIONESFUNDAMENTALESEstosproblemas se examinarn en tareas. Ahora, considrese un problema deuna pelcula de aceite con flujo paralelo real. Ejemplo 1.1. Uncilindro slido A de masa 2.5 kg se desliza hacia abajo dentro de untubo, como se muestra en la figura 1.7. El cilindro esperfectamente concntrico con la lnea central del tubo con unapelcula de aceite entre el cilindro y la superficie interna deltubo. El coeficiente de viscosidad del aceite es 7 x 1O-3 N * s/m2.Cuti es la velocidad terminal V, del cilindro, es decir, lavelocidad constante final del cilindro? Ignore los efectos depresin del aire. Se supone un perfil de velocidad lineal en lapelcula de aceite, como se muestra en la figura 1.8. El valor deIV/dn necesario en la ley de viscosidad de Newton ser: dV V-O -= -= 10,000v 0 .ooo 1 ans (4El esfuerzo cortante T sobre la pared delcilindro es 8V = (7 x 10 )(lo,ooov) = 7ov Pa nt17 = p-(b)Ahora,puede igualarse el peso del cilindro con la fuerza viscosa en lacondicin de equilibrio que se obtiene cuando el cilindro alcanza suvelocidad terminal V,. As,w = (T)(?TD)(L) :_(2.5)(9.81) =(70v,)()(0.073x)(0.150)Cc)Se obtiene para V,: V, = 10.07 m/s(4Sise divide ,LI por.p , la densidad de masa, se obtiene lo que seconoce como viscosidad cinemdtica6. Esta propiedad se denota como vy tiene dimensiones Llt, como puede verificarse. En el sistema cgs,la unidad se conoce como stoke (1 cm2/s) y en el sistema SI, launidad es 1 m*/s, que obviamente es lo4 veces el stoke. En elsistema USCS, la unidad bsica es 1 pie2/s. La viscosidad cinemticaes independiente de la presin para lquidos; sin embargo, para gasesv depender de la presin. La dependencia de v con respecto a latemperatura para presin atmosfrica se muestra en la figura B.2 delapndice.1.7UNA NOTA SOBRE MATERIALES NO NEWTONIANOSEl estudio de larespuesta de los materiales a esfuerzos se conoce como reologu. Eneste contexto, el fluidonewtoniano es un material viscoso. Losfluidos no newtonianos tambin son materiales viscosos en los cualesel esfuerzo cortante est relacionado con la tasa de corte, dV/dy,en una forma ms complicada. La ley de potencia es una forma dedescribir el comportamiento de materiales viscosos, Para flujosparalelos est dada como:(1.8) Usualmente la viscosidad en s seconoce como viscosidad absoluta o dinmica, para diferenciarla mejorde la viscosidad cinemtica.15 : 33. PRINCIPIOS BkSICOSDE MECANICADEFLUIDOSPara un fluido newtoniano k = p y FZ = 1. Para otros valoresde n se tendra un fluido no newtoniano. Un fluido no newtonianocuyo comportamiento se describe mediante la ecuacin (1.8) con n c 1se conoce como pseudoplstico; este nombre se origina porque con elincremento de la tasa de corte, dV/dy, existe una curiosadisminucin en la viscosidad efectiva. Es decir, con un incrementoen la tasa de corte el lquido se adelgaza7. En la figura 1.9 semuestra la curva esfuerzo-tasa de corte. Muchos lodos nonewtonianos son pseudoplsticos. Por otra parte, si n > 1, elfluido se conoce como dilatante; aqu el fluido se engruesa con unaumento en la tasa de corte. Adems, existen los llamados materialeslineales de Bingham, donde, como se describi en la seccin 1.2, sepresenta nicamente un desplazamiento finito para un esfuerzocortante menor que un valor zI y para el cual existe uncomportamiento viscoso newtoniano cuando el esfuerzo cortante esmayor que t 1. Este comportamiento se muestra en la figura 1.9. Laecuacin correspondiente es dVEsfuerzo cortanteMaterial lineal deBingham71Tasa de esfuerzo [email protected] i dy iFigura 1.9Comportamientoreolgico de algunos materiales viscosos. Finalmente, cabe indicarque muchos materiales poseen una combinacin de caractersticasviscosas y elsticas, por lo que se conocen como materialesviscoelsticos*. Por ejemplo, los plsticos a temperatura ambiente ybajo carga son viscoelsticos. Aun con esta lista abreviada decomportamiento de materiales, debe quedar claro que existe unamplio rango de posibles caractersticas de los materiales que va msalla de los casos familiares simples usualmente estudiados encursos introductorios de fluidos y de slidos. En este texto, comose indic, se restringe el estudio a fluidos newtonianos y se empleala definicin de un fluido (en contraposicin a la de un slido) dadaen la seccin 1.2. Es decir, la curva pseudoplstica caecontinuamente mucho ms abajo que las de un fluido newtoniano, comopuede observarse en la figura 1.9. &$f * Vase 1. H. Shames y F.Cozzarelli, Elastic and Inelastic Stress Analysis, captulo 7.Prentice-Hall. Englewood Cliffs. : N.J., 1992. 34. NOCIONESFUNDAMENTALES1.8EL GAS PERFECTO: ECUACIN DE ESTADOSi se presume quelas molculas de un lquido tienen un efecto mutuo causado solo porchoques perfectamente elsticos, entonces la teora cintica de gasesindica que para tal fluido, conocido como gas perfecto, existe unafrmula simple que relaciona la presin, el volumen especfico y latemperatura absoluta. Esta relacin, conocida como ecuacin deestado, tiene la siguiente forma para un gas perfecto enequilibrio: (1.10)pl = RTdonde R, la constante de gas, dependenicamente del peso molecular del fluido, v es el volumen especfico(volumen por unidad de masa) y T es la temperatura absoluta. Losvalores de R para diferentes gases a baja presin se dan en la TablaB.3 del apndice. En la realidad, el comportamiento de muchos gases,como aire, oxgeno y helio, se aproxima bastante al de un gasperfecto en la mayor parte de las condiciones y, por consiguiente,puede representarse con bastante precisin mediante la anteriorecuacin de estadog. Debido a que la esencia del gas perfecto es laausencia completa de atraccin intermolecular, los gases cerca decondiciones de condensacin se desvan mucho del comportamiento de ungas perfecto. Por esta razn, el vapor, el amonaco y el fren apresin atmosfrica y a temperatura ambiente y, adems, el oxgeno y elhelio a presiones muy elevadas, no pueden considerarse como gasesperfectos en muchos clculos. Existen otras ecuaciones de estadodiferentes de la de los gases perfectos, pero no tienen lasencillez y el rango de la ecuacin anterior. Debe hacerse nfasis enque todas estas relaciones se desarrollaron para fluidos enequilibrio mecnico y trmico macroscpico. En esencia esto significaque el fluido como un todo no tiene movimiento acelerado relativo aun marco de referencia inercia1 y se encuentra libre detransferencias de calor. El trmino p en la anterior ecuacin deestado y en otras ecuaciones similares se conoce como presin. Sinembargo, debido a la naturaleza de equilibrio de esta propiedad,como se utiliza en las ecuaciones de estado, se emplea el trminopresin termodinmica para diferenciarla de cantidades que involucransituaciones dinmicas. Las relaciones entre presin termodinmica ylos conceptos de no equilibrio se estudiaran en los captulos 2 y 9.En la seccin ll .2 se analiza con ms detalle el gas perfecto. 9Probablemente usted ya ha utilizado la ley del gas perfecto paracasos especiales en su curso de qumica. Luego, la ley de Charlespara presin constante, utilizando la ecuacin (l.lO), se convierteen P.. 1R1 = const = Luego, I = :.(const)TI cx TEsto significaque el volumen especfico v es directamente proporcional a T. Tambinla ley de Boyles se aplica para temperatura constante. Luego, de laecuacin (l.lO), JI! = RT = constEl volumen especfico de un gas varainversamente con la presin. Para una masa de gas dada puederemplazarse el volumen especfico, en las ecuaciones anteriores, porel volumen V del gas. 35. PRINCIPIOS B,hICOS DE MEChICA DEFLUIDOSEjemplo 1.2. Se mantiene aire a una presin de 200 kPa y auna temperatura de 30C en un tanque de 500 L. Cul es la masa delaire? Puede utilizarse la ecuacin de estado con la constante delgas, R, igual a 287 N.m/(kg.K) y resolver para el volumen especficov. Luego,[(200)( IOOO)]= (287)(273+ 30).. 1 = 0.435 m,kgY2piesL-,I-50p i e s -A 741 ple 1BX Ex Figura 1.10 Can de aire.La masadel aire puede calcularse en la siguiente forma: /&L 1[SOO/ 1OOO] 0.435= 1.149 kgEl siguiente ejemplo, marcado con asterisco, esun problema interesante, aunque con cierto grado de dificultad, queinvolucra un aparato utilizado durante muchos aos por la Armada delos EE.UU. *Ejemplo 1.3. Un cuon de aire se utiliza para probar lahabilidad de aparatos pequeos que soportan aceleraciones altas. Unpistn flotante A, sobre el cual se monta el aparato a probar, semantiene en la posicin C y la regin D se llena con aire altamentecomprimido (figura 1.10). En principio, la regin E se encuentra apresin atmosfrica pero aislada por completo del exterior. Cuando sedispara, un mecanismo de soltado rapido deja libre el pistn y steacelera con rapidez hacia el otro extremo del can, donde el aireatrapado en E acolchona el movimiento de manera que el pistneventualmente empezar a devolverse. Sin embargo, cuando empieza elmovimiento hacia atrs, la alta presin desarrollada en E se libera atravs de la vlvula F y el pistn se devuelve slo una pequeadistancia. Supngase que el pistn y el especimen de prueba tienenuna masa de 2 lbm y la presin manomtrica inicial en la cmara D esde 1,000 lb/pulgz. Calcule la velocidad del pistn en la mitad delrecorrido del can de aire si se hace la suposici6n simple de que elaire en D se expande de acuerdo con pv = const (es decir, expansinisoterma para la cua! puede utilizarse la ley de Boyle) y que elaire en E se comprime de acuerdo con pv = conW. Inicialmente, paraeste fluido tome v en D como 0.207 piesVbm y u en E igual a 13.10pies3/lbm. Ignore la inercia del aire y la friccin. La fuerza sobreel pistn resulta de las presiones en cada una de las caras y puededemostrarse que esta fuerza es una funcin de x. Luego, examinandola presin pD primero, de las condiciones iniciales se tiene: (pr+,,),, = [( 1000 +1814.7)(144)](0.207)= 30,300 pies Ibf/lbm(4IoEn el problema 1.30 se supone que no existe transferencia de calordurante la expansin y la compresin (un modelo ms real). Como seaprender posteriormente, para este caso la ecuacin de estado seconvierte en pvt= const, donde k es una constante. 36.NOCIONESIWNLMh4ENTALESAdicionalmente, la masa de fluido D dada comoM, se determina de los datos iniciales como 0 M,,= - = iv; 1' 1'1)0(b)0.207donde (V,), indica el volumen inicial del gas en D.Retornando a la ecuacin (a), para pD en cualquier posicin n delpistn se tiene que 30,300 30,300 30,300 P 1>=-= -= 1'11 "l,/MLlr( A+/M,, .'. P =293,000 ibf/ pie: xDe modo similar, puedeobtenerse pE como una funcin de x. Luego, ( P,J,,= (14.7)(144)(13.10) = 27,700 pies Ibf/lbmY( l. >,, ___ = (4fqd) = 2.88 ME =(l.,..),) 13.10IbmLuego, 27,700 P/{ =L'I,27,70027,700"k /M, -(7&)(50-x)/2.XK101,600 .. Pr: = s(, _ y Ihf/piezCc)Ahora, puedeescribirse la ley de Newton para este caso. Utilizando V sinsubndice como la velocidad, se obtiene: d2V d" Mdl=Mdu=293,000 101,hOO ___-___ X so - x(4donde M es la masa del pistn y su carga, Sedeja al lector el trabajo de separar las variables e integrar laecuacin diferencial. La constante de integracin se evala notandoque cuando n = 2 pies, V = 0. En x = 25 pies, se encuentra que V=4120 pies/s1.9COMPRESIBILIDAD DE LQUIDOS; TENSIN SUPERFICIALEn laseccin precedente se estudi la compresibilidad de un gas perfectopor medio de la ley del gas perfecto. Anteriormente se indic quelos lquidos presentan slo una ligera compresin bajo presin. A pesarde que esta compresibilidad de los lquidos es pequea, algunas veceses importante. Por ejemplo, puede serlo para presiones muy altas.Tambin, en acstica bajo el agua (sonar) la compresibilidad del agua.z rotado arbitrariamente con respecto al sistema xyz. En una formasimilar puede calcularse el esfuerzo cortante en la direcci6n ssobre una interfaz con una direccin normal n (vase la figura 2.3).Luego, si arr, aV y a IL son los cosenos directores para ladireccin s, puede decirse, utilizando la ley de Newton que42Nuevamerite,se ha expresado el lado derecho de la ecuacin anterioren forma de una matriz de esfuerzos. 60. ESFUERZO EN UN PUNTOIgualque antes, puede considerarse la direccin n de la interfaz como ladel eje x y la direccin s tangente a la interfaz como la del eje z.Luego, para rXxt, asociado con el sistema de referencia xyz, que seencuentra rotado con respecto a xyz,puede decirse al remplazar npor x y s por z en la ecuacin (2.6), quePueden formarse relacionessimilares para7xx,. y 7zy. Luego, se concluye que una vez que sehan establecido los esfuerzos asociados con el sistema dereferencia xyz, puede encontrarse cualquier esfuerzo sobre unainterfaz en el punto; en particular, pueden calcularse losesfuerzos cortantes correspondientes al sistema de coordenadas xyzen el punto.Conociendo las nueve componentes del esfuerzo para lascoordenadas xyz pueden calcularse las nueve componentesdel esfuerzopara las coordenadas nyt, rotadas arbitrariamente con respecto axyz, haciendo uso de las ecuaciones de transformacin precedentes[(2.2) y (2.6)]. Puede decirse que cualquier conjunto de nuevecomponentes que se transforman de acuerdo con las ecuacionesprecedentes, cuando se produce una rotacin de ejes, es un tensor desegundo orden.Las nueve componentes escalares de un tensor deesfuerzo usualmente se representan mediante la siguiente matriz,donde el primer subndice es comn para una fila dada y el segundo escomn para una columna dada5:Siempre que sea posible ignorar losefectos viscosos, existe una clara ventaja de manejar una sencilladistribucin escalar de presiones en lugar de un campo tensorialobviamente ms complejo. Las soluciones analticas para flujosviscosos so11 posibles para problemas relativamente simples. Enparticular en este campo de la mecnica de fluidos, es muyimportante basarse en informacin experimental y en mtodos numricos.Las ecuaciones (2.2) y (2.6) para unfluido viscoso son las mismasque describen los esfuerzos en cualquier medio continuo.2.6PROPIEDADES DE ESFUERZO Considrese la placa vertical cargada porfuerzas en el plano de la placa que se muestra en la figura 2.4. Laplaca se encuentra en equilibrio. ste es un caso de esfuerzo plano,como puede recordarse, donde solamente los esfuerzos Ti, 7, zyx yzV son diferentes de cero. En la figura 2.5 se muestra el diagramade cuerpo libre del elemento de la placa que aparece en la figura2.4. Ahora se toman momentos alrededor de lasLa ?Direccibn de lagravedadtId?*0--.__ *Figura 2.4Placa en equilibrio; esfuerzo plano.z 5 Los subndices i y j dados aqu se conocen como ndices libres quetienen todas las permutaciones posibles de x, y y z, como serepresenta en la expresin entre corchetes..: i:.: I:. . :j/ :.,f:i,:i,;, ,ji::$$..i::. . ..:. .:. : .:. 61. PRINCIPIOS BhICOS DEMF.ChCAI It 7XYdx 4DE FLUIDOS,J= &)T x.x+ pgdc TXYTYx t?YYFigura 2.5Paraleleppedo rectangular infinitesimal. esquinas delelemento y la suma se iguala a cero. Los esfuerzos normales y lafuerza de gravedad dan contribuciones de segundo orden a losmomentos y se cancelan en el lmite. Inicialmente puede concluirseque T xy= T yxy en segundo lugar, que los esfuerzos cortantes sobreel elemento infinitesimal deben apuntar hacia o desde una esquina.sta es la propiedad de complementariedad de esfuerzo cortantededucida en cursos de resistencia de materiales. Si no existe unestado de equilibrio, los trminos de inercia, al igual que lafuerza de cuerpo, contribuyen solo con trminos de segundo orden quese cancelan en el lmite. Las conclusiones obtenidas anteriormentese mantienen. stas pueden extrapolarse a tres dimensiones6 donde z= =q Y TX.,.. .... ..,:..,:.:,.,.. . ,.> ., . 63. PRINCIPIOSBkSICOSDE MECANICADE FLUIDOSdy de la cara 1, de manera que lapresin en ella puede considerarse igual a la presin en la cara 1 msun incremento debido a este cambio en la posicin. Luego, puededecirse que ap dz ap dP dx P2=p+anI+zI-+-dL aYNtese que podraexpresarse el incremento de presin debido al cambio de posicin enuna forma ms precisa, pero esto traera a consideracin trminos deorden mayor que desapareceran cuando se tomen lmites. Ahora, puedecalcularse la fuerza neta en la direccin y utilizando lasanteriores presiones. Al escoger el paraleleppedo rectangular comoel cuerpo libre, ntese que pueden cancelarse los trminos de primerorden de la ecuacin p y dejar solamente los trminos de segundoorden de la misma, que dan la variacin en lo pequeo de ladistribucin de presiones. Luego,apdFY = - ;iy dxdydzDe modosimilar, en las direcciones x y z se obtiene: ipdt-, = - - dxdydzlXdP dFz = - z dxdydzAntes de continuar, debe anotarse que lasanteriores fuerzas sobre el elemento podrfan haberse obtenidotomando las presiones en las superficies adyacentes ms cercanas aleje de referencia como iguales a p y aadiendo variaciones de primerorden a este valor para las otras caras, como se ilustra en lafigura 2.7. ste es el procedimiento que usualmente se emplea ensituaciones similares.Figura 2.7Variacin de la presin en lasdirecciones xyz. La fuerza sobre el elemento puede expresarseentonces como: JPgi t $j + zkdrdydzLuego, la fuerza por unidad devolumen es dF46dxdydz(2.10) 64. - ESFUERZO EN UN PUNTOSi se hubierautilizado un elemento diferente con forma apropiada para losclculos en un sistema de coordenadas diferente, por ejemplo,coordenadas cilndricas, se habra llegado a una expresin diferentede f (como ejercicio, se pedir trabajar el caso de coordenadascilndricas). Sin embargo, todas estas ecuaciones tienen exactamenteel mismo significadofisico, es decir, la fuerza por unidad devolumen en un punto, la cual, de acuerdo con esto, es por completoindependiente del sistema de coordenadas utilizado con propsitos deevaluacin. Por esta razn, se introduce un operador vectorialro,conocido como gradiente, que relaciona los campos escalares yvectoriales de modo que, para el caso presente, conduce de unadistribucin de presiones p al campo vectorial f, que da la fuerzapor unidad de volumen en un punto debida a la tensin en lasuperficie. Luego, puede decirse que f = -gradp(2.11)donde la formadel operador gradiente depende del sistema de coordenadasutilizado. En coordenadas cartesianas, para el operador gradientese tiene:(2.12)En transferencia de calor, el negativo del gradientede una distribucin de temperatura T da un campo vectorial q que esel campo de flujo de calor. Luego, el gradiente de un escalarocasiona una accin motora por unidad de volumen. En particular,-grad T ocasiona una accin motora que causa el flujo de calor y-grad p ocasiona una accin motora que causa el movimiento delfluido. En captulos posteriores se introducirn otros operadoresvectoriales, como la divergencia y el rotwional, q:.e son de granutilidad debido a que pueden describir de manera analtica ciertosfenmenos que ocurren comnmente en la naturaleza sin necesidad de unsistema de referencia. Estos operadores se utilizan en formrextensa en campos de estudio como electricidad y magnetismo,transferencia de calor y teora de elasticidad y, a pesar de quetienen significados diferentes en cada una de estas disciplinas,existe una coincidencia considerable de significados de un tema aotro. En el estudio de mecnica de fluidos existe una imagen rmlydiciente que puede asociarse con estos operadores y que por ser deuso corriente se emplear en extenso en el texto. 2.8 COLOFN En estecaptulo se han hecho algunas anotaciones introductoriasrelacionadas con campos de esfuerzos y sus propiedades. Uno de losprincipales objetivos en mecnica de fluidos ser evaluar ladistribucin de esfuerzos y el campo de velocidad para ciertosflujos. Utilizando esto, pueden calcularse fuerzas sobre cuerpos,por ejemplo alas, dentro del flujo y predecir el comportamientoprobable de mquinas. Por lo general, se requiere el uso de variasleyes bsicas para tales trabajos; sin embargo, en el siguientecaptulo se determinar, solo mediante la ley de Newton, el campo deesfuerzo para un fluido esttico. En otras palabras, utilizando ellenguaje de mecnica de cuerpos rgidos, los fluidos estticos engeneral son estticamente determinados.Io Un operador vectorial perse est separado de sistemas coordenados hasta el instante en elcual se deseen las componentes. El operador gradiente tambin seexpresa mediante el smbolo V. Por consiguiente,47 f= -cp 65.PRINCIPIOS FLkSICOSDE MEChICADE FLUIDOSPROBLEMASz 2 ---___= / I 4,f/ / 13 r------rCategorh de los problemas/Problemas que involucrancampos 2.1-2.4 Fuerzas y esfuerzos de tensin 2.5-2. ll Notacin dendices (con asterisco) 2.12-2.13 Notacin de esfuerzos 2.14-2.17Operador gradiente 2.18-2.20/Y_1/ i;/4Figura P2.3Problemas conasterisco cul es la fuerza de cuerpo resultante sobre el materialde la regin que aparece en el diagrama?2.12, 2.132.4. Un aceite semueve sobre una superficie plana. En el diagrama se observa esteflujo desde encima. Sobre la superficie plana se desarrolla uncampo de fuerza de tensin T dado porDeducciones y justificaciones2.10, 2.20 2.1. Dado el campo de velocidadT =(6y+3)i+(3x*+ y)j + (5+ x2)k Ib/pie2V(x, y, z, r) = (6xy2 + t)i +(3z+ 1O)j + 2 0 km/siCul es la fuerza total sobre el cuadrado de 3 x 3 pies2 de Leaque aparece en el diagrama?con x, y, z medidas en metros y t ensegundos, jcul es el vector velocidad en la posicin x = lOm,y=-1 my z = 2m cuandor = 5 s ? iCul es la magnitud de esta velocidad?2.2, Se sabe que las componentes de velocidad de un flujo son: V,=6xtV,, = 3xy V2 = 2+ y2z +15 m/s+ f2 + ym/s+ 3ty m/sFiguraP2.4dondex, y y z estn en metros y ten segundos. Cul es el vectorvelocidad en la posicin (3, 2, 4) m y en el tiempo t = 3 s? iCul esla magnitud de la velocidad en este punto y en este instante?2.5.Los esfuerzos sobre la cara A de un paraleleppedo rectangularinfinitesimal de fluido en un flu-2.3. La distribucin de una fuerzade cuerpo est dada por B = 16xi + 1Oj N/kgpor unidad de masa delmaterial en que acta. Si la densidad del material est dada porp =Y+2zkg/m3Figura P2.5 66. ESFUERZO EN UN PUNTOjo se muestran en lafigura P2.5 en el tiempo t. Cul es el vector de tensin para estacara en el instante indicado? Qu podra decir usted sobre losesfuerzos cortantes en las caras B y A en ese instante? 2.6.Explique por qu en hidrosttica la fuerza ejercida por el fluidosobre un elemento de &rea es siempre normal al 6rea delelemento en la frontera. 2.7. Encuentre los cosenos directoressiguientes (vase figura P2.7) entre los ejes con prima y sinprima.una interfaz cuyo vector unitario normal es n = 0.6i + 0.8j +Ok? Ayuda: vuse problema 2.8. 2.10. Exprese el tensor esfuerzo rYden funcin del tensor esfuerzo rij para el sistema de coordenadasxyz en un punto. Luego, proponga un conjunto de pasos simples quepuedan seguirse para que pueda escribirse fcilmente la ecuacin detransformacin para el esfuerzo rYX, sin tener que consultar laecuacin (2.6). Ayuda: empiece escribiendo rV para la referencia sinprimas [ecuacin (2.8)] y conti 2ff7e9595c